(2x+1)^2(x^2-4x+3)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(2 x + 1\right)^{2} \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 x + 1\right)^{2} \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(2 x + 1\right)^{2} \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$2 x + 1 = 0$$
$$x^{2} - 4 x + 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$2 x + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = -1 / (2)

Obtenemos la respuesta: x1 = -1/2
2.
$$x^{2} - 4 x + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (3) = 4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 x + 1\right)^{2} \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 3\right) > 0$$
$$\left(\frac{\left(-3\right) 2}{5} + 1\right)^{2} \left(\left(\left(- \frac{3}{5}\right)^{2} - \frac{\left(-3\right) 4}{5}\right) + 3\right) > 0$$

144    
--- > 0
625    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x3      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{1}{2}$$
$$x > 1 \wedge x < 3$$