Se da la desigualdad:
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 1} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 1} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 1} = 0$$
denominador
$$x + 1$$
entonces
x no es igual a -1
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x = 0$$
$$x - 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x = 0$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 0
2.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 2
pero
x no es igual a -1
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x \left(x - 2\right)}{x + 1} > 0$$
$$\frac{\left(- \frac{1}{10}\right) \left(-2 + - \frac{1}{10}\right)}{- \frac{1}{10} + 1} > 0$$
7/30 > 0
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 0$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x1 x2
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 0$$
$$x > 2$$