Se da la desigualdad:
$$\left|{3 x + 4}\right| < 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{3 x + 4}\right| = 2$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.
1.$$3 x + 4 \geq 0$$
o
$$- \frac{4}{3} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 x + 4\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x + 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
2.$$3 x + 4 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{4}{3}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- 3 x - 4\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{3 x + 4}\right| < 2$$
$$\left|{\frac{\left(-21\right) 3}{10} + 4}\right| < 2$$
23
-- < 2
10
pero
23
-- > 2
10
Entonces
$$x < -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -2 \wedge x < - \frac{2}{3}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x2 x1