Se da la desigualdad:
$$\frac{6 \cdot 5^{x} - 11}{\left(25^{x + \frac{1}{2}} - 6 \cdot 5^{x}\right) + 1} \geq \frac{1}{4}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{6 \cdot 5^{x} - 11}{\left(25^{x + \frac{1}{2}} - 6 \cdot 5^{x}\right) + 1} = \frac{1}{4}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{6 \cdot 5^{x} - 11}{\left(25^{x + \frac{1}{2}} - 6 \cdot 5^{x}\right) + 1} \geq \frac{1}{4}$$
$$\frac{-11 + 6 \cdot 5^{- \frac{1}{10} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}}}{1 + \left(- 6 \cdot 5^{- \frac{1}{10} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}} + 25^{\frac{1}{2} + \left(- \frac{1}{10} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}\right)}\right)} \geq \frac{1}{4}$$
1 log(3)
- -- + ------
10 log(5)
-11 + 6*5
----------------------------------- >= 1/4
2 log(3) 1 log(3)
- + ------ - -- + ------
5 log(5) 10 log(5)
1 + 25 - 6*5
pero
1 log(3)
- -- + ------
10 log(5)
-11 + 6*5
----------------------------------- < 1/4
2 log(3) 1 log(3)
- + ------ - -- + ------
5 log(5) 10 log(5)
1 + 25 - 6*5
Entonces
$$x \leq \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
_____
/
-------•-------
x1