log9(2x-1)<1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{\log{\left(9 \right)}} < \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{\log{\left(9 \right)}} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{\log{\left(9 \right)}} = \frac{1}{2}$$
$$\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{\log{\left(9 \right)}} = \frac{1}{2}$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(9)
$$\log{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{\log{\left(9 \right)}}{2}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$2 x - 1 = e^{\frac{1}{2 \frac{1}{\log{\left(9 \right)}}}}$$
simplificamos
$$2 x - 1 = 3$$
$$2 x = 4$$
$$x = 2$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{\log{\left(9 \right)}} < \frac{1}{2}$$
$$\frac{\log{\left(-1 + \frac{2 \cdot 19}{10} \right)}}{\log{\left(9 \right)}} < \frac{1}{2}$$

log(14/5)      
--------- < 1/2
  log(9)       

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 2$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1