(tg(x)+1)*(2sin(x)-1)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) \left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) < 0$$
$$\left(2 \sin{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} - 1\right) \left(\tan{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} + 1\right) < 0$$

/       /1    pi\\ /          /1    pi\\    
|1 - tan|-- + --||*|-1 - 2*sin|-- + --|| < 0
\       \10   4 // \          \10   4 //    

pero

/       /1    pi\\ /          /1    pi\\    
|1 - tan|-- + --||*|-1 - 2*sin|-- + --|| > 0
\       \10   4 // \          \10   4 //    

Entonces
$$x < - \frac{\pi}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{\pi}{6}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > - \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{\pi}{6}$$
$$x > \frac{5 \pi}{6}$$