(8x+7)²×(4x+3)×(2x+2)<9 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(4 x + 3\right) \left(8 x + 7\right)^{2} \left(2 x + 2\right) < 9$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(4 x + 3\right) \left(8 x + 7\right)^{2} \left(2 x + 2\right) = 9$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(4 x + 3\right) \left(8 x + 7\right)^{2} \left(2 x + 2\right) = 9$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\left(2 x + 1\right) \left(4 x + 5\right) \left(64 x^{2} + 112 x + 57\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$2 x + 1 = 0$$
$$4 x + 5 = 0$$
$$64 x^{2} + 112 x + 57 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$2 x + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = -1 / (2)

Obtenemos la respuesta: x1 = -1/2
2.
$$4 x + 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$4 x = -5$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 4

x = -5 / (4)

Obtenemos la respuesta: x2 = -5/4
3.
$$64 x^{2} + 112 x + 57 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 64$$
$$b = 112$$
$$c = 57$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(112)^2 - 4 * (64) * (57) = -2048

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = - \frac{7}{8} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{4} = - \frac{7}{8} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{7}{8} + \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
$$x_{4} = - \frac{7}{8} - \frac{\sqrt{2} i}{4}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{5}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5}{4} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{27}{20}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(4 x + 3\right) \left(8 x + 7\right)^{2} \left(2 x + 2\right) < 9$$
$$\left(\frac{\left(-27\right) 4}{20} + 3\right) \left(\frac{\left(-27\right) 8}{20} + 7\right)^{2} \left(\frac{\left(-27\right) 2}{20} + 2\right) < 9$$

15162    
----- < 9
 625     

pero

15162    
----- > 9
 625     

Entonces
$$x < - \frac{5}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{5}{4} \wedge x < - \frac{1}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1