Se da la desigualdad:
$$-2 + \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-2 + \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-2 + \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} - 8 x + 9}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces
x no es igual a 0
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} - 8 x + 9 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} - 8 x + 9 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -8$$
$$c = 9$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-8)^2 - 4 * (1) * (9) = 28
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = \sqrt{7} + 4$$
$$x_{2} = 4 - \sqrt{7}$$
pero
x no es igual a 0
$$x_{1} = \sqrt{7} + 4$$
$$x_{2} = 4 - \sqrt{7}$$
$$x_{1} = \sqrt{7} + 4$$
$$x_{2} = 4 - \sqrt{7}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 4 - \sqrt{7}$$
$$x_{1} = \sqrt{7} + 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(4 - \sqrt{7}\right)$$
=
$$\frac{39}{10} - \sqrt{7}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-2 + \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{x} > 0$$
$$-2 + \frac{\left(-3 + \left(\frac{39}{10} - \sqrt{7}\right)\right)^{2}}{\frac{39}{10} - \sqrt{7}} > 0$$
2
/9 ___\
|-- - \/ 7 |
\10 /
-2 + ------------- > 0
39 ___
-- - \/ 7
10
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 4 - \sqrt{7}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 4 - \sqrt{7}$$
$$x > \sqrt{7} + 4$$