|x|*log0.5(x+1/3)+x<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x + 5 \log{\left(0 \right)} \left|{x}\right| \left(x + \frac{1}{3}\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x + 5 \log{\left(0 \right)} \left|{x}\right| \left(x + \frac{1}{3}\right) = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x \geq 0$$
o
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\tilde{\infty} x \left(x + \frac{1}{3}\right) + x = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\tilde{\infty} x \left(x + \frac{1}{3}\right) + x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -1$$
pero x1 no satisface a la desigualdad
$$x_{2} = 0$$

2.
$$x < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
obtenemos la ecuación
$$\tilde{\infty} \left(- x\right) \left(x + \frac{1}{3}\right) + x = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\tilde{\infty} x \left(x + \frac{1}{3}\right) + x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 0$$
pero x4 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x + 5 \log{\left(0 \right)} \left|{x}\right| \left(x + \frac{1}{3}\right) \leq 0$$
$$5 \log{\left(0 \right)} \left|{- \frac{11}{10}}\right| \left(- \frac{11}{10} + \frac{1}{3}\right) - \frac{11}{10} \leq 0$$

zoo <= 0

Entonces
$$x \leq -1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -1 \wedge x \leq 0$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1