9^x+3^x-6>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(3^{x} + 9^{x}\right) - 6 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(3^{x} + 9^{x}\right) - 6 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(3^{x} + 9^{x}\right) - 6 = 0$$
o
$$\left(3^{x} + 9^{x}\right) - 6 = 0$$
Sustituimos
$$v = 3^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} + v - 6 = 0$$
o
$$v^{2} + v - 6 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -6$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-6) = 25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = 2$$
$$v_{2} = -3$$
hacemos cambio inverso
$$3^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(3^{x} + 9^{x}\right) - 6 > 0$$
$$-6 + \left(\frac{1}{9^{\frac{31}{10}}} + \frac{1}{3^{\frac{31}{10}}}\right) > 0$$

      9/10    4/5    
     3       3       
-6 + ----- + ---- > 0
       81    2187    
    

Entonces
$$x < -3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -3 \wedge x < 2$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1