log5-2x(2x+9)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- 2 x \left(2 x + 9\right) + \log{\left(5 \right)} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- 2 x \left(2 x + 9\right) + \log{\left(5 \right)} = 1$$
Resolvemos:
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$- 2 x \left(2 x + 9\right) + \log{\left(5 \right)} = 1$$
en
$$\left(- 2 x \left(2 x + 9\right) + \log{\left(5 \right)}\right) - 1 = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(- 2 x \left(2 x + 9\right) + \log{\left(5 \right)}\right) - 1 = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$- 4 x^{2} - 18 x - 1 + \log{\left(5 \right)} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = -18$$
$$c = -1 + \log{\left(5 \right)}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-18)^2 - 4 * (-4) * (-1 + log(5)) = 308 + 16*log(5)

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8} - \frac{9}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8} - \frac{9}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8} - \frac{9}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8} - \frac{9}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8} - \frac{9}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{47}{20} - \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- 2 x \left(2 x + 9\right) + \log{\left(5 \right)} < 1$$
$$- 2 \left(- \frac{47}{20} - \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8}\right) \left(2 \left(- \frac{47}{20} - \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8}\right) + 9\right) + \log{\left(5 \right)} < 1$$

  /         _________________\ /       _________________\             
  |  47   \/ 308 + 16*log(5) | |43   \/ 308 + 16*log(5) |             
- |- -- - -------------------|*|-- - -------------------| + log(5) < 1
  \  10            4         / \10            4         /             
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8} - \frac{9}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8} - \frac{9}{4}$$
$$x > - \frac{9}{4} + \frac{\sqrt{16 \log{\left(5 \right)} + 308}}{8}$$