((x^2+2*x-8)*(x-3))/(x-2)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 8\right)}{x - 2} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 8\right)}{x - 2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 8\right)}{x - 2} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\left(x - 3\right) \left(x + 4\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 3 = 0$$
$$x + 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 3
2.
$$x + 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -4$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -4
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -4$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 8\right)}{x - 2} < 0$$
$$\frac{\left(-8 + \left(\frac{\left(-41\right) 2}{10} + \left(- \frac{41}{10}\right)^{2}\right)\right) \left(- \frac{41}{10} - 3\right)}{- \frac{41}{10} - 2} < 0$$

 71    
--- < 0
100    

pero

 71    
--- > 0
100    

Entonces
$$x < -4$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -4 \wedge x < 3$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1