(|x-3|)+(|x+1|)<=4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x + 1}\right| \leq 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x + 1}\right| = 4$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 3 \geq 0$$
$$x + 1 \geq 0$$
o
$$3 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 3\right) + \left(x + 1\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 3$$

2.
$$x - 3 \geq 0$$
$$x + 1 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 3 < 0$$
$$x + 1 \geq 0$$
o
$$-1 \leq x \wedge x < 3$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - x\right) + \left(x + 1\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
la igualdad
la resolución en este intervalo:

4.
$$x - 3 < 0$$
$$x + 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - x\right) + \left(- x - 1\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -1$$
pero x2 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x + 1}\right| \leq 4$$
$$\left|{-3 + \frac{29}{10}}\right| + \left|{1 + \frac{29}{10}}\right| \leq 4$$

4 <= 4

pero

4 >= 4

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 3$$

 _____          
      \    
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       x1