((x+5)*(x+2))/(x-7)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 5\right)}{x - 7} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 5\right)}{x - 7} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 5\right)}{x - 7} = 0$$
denominador
$$x - 7$$
entonces

x no es igual a 7

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 2 = 0$$
$$x + 5 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -2
2.
$$x + 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -5$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -5
pero

x no es igual a 7

$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -5$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -5$$
$$x_{1} = -2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-5 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 5\right)}{x - 7} < 0$$
$$\frac{\left(- \frac{51}{10} + 2\right) \left(- \frac{51}{10} + 5\right)}{-7 + - \frac{51}{10}} < 0$$

-31     
---- < 0
1210    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -5$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -5$$
$$x > -2$$