|x-1|+|x+2|-|x-3|>4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left|{x - 1}\right| + \left|{x + 2}\right|\right) - \left|{x - 3}\right| > 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left|{x - 1}\right| + \left|{x + 2}\right|\right) - \left|{x - 3}\right| = 4$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 1 \geq 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
$$x - 3 \geq 0$$
o
$$3 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$- (x - 3) + \left(x - 1\right) + \left(x + 2\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 0$$
pero x1 no satisface a la desigualdad

2.
$$x - 1 \geq 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
$$x - 3 < 0$$
o
$$1 \leq x \wedge x < 3$$
obtenemos la ecuación
$$- (3 - x) + \left(x - 1\right) + \left(x + 2\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 2$$

3.
$$x - 1 \geq 0$$
$$x + 2 < 0$$
$$x - 3 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x - 1 \geq 0$$
$$x + 2 < 0$$
$$x - 3 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

5.
$$x - 1 < 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
$$x - 3 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

6.
$$x - 1 < 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
$$x - 3 < 0$$
o
$$-2 \leq x \wedge x < 1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - x\right) - \left(3 - x\right) + \left(x + 2\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 4$$
pero x3 no satisface a la desigualdad

7.
$$x - 1 < 0$$
$$x + 2 < 0$$
$$x - 3 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

8.
$$x - 1 < 0$$
$$x + 2 < 0$$
$$x - 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - x\right) - \left(3 - x\right) + \left(- x - 2\right) - 4 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 8 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{4} = -8$$


$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -8$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -8$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-8 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{81}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left|{x - 1}\right| + \left|{x + 2}\right|\right) - \left|{x - 3}\right| > 4$$
$$- \left|{- \frac{81}{10} - 3}\right| + \left(\left|{- \frac{81}{10} + 2}\right| + \left|{- \frac{81}{10} - 1}\right|\right) > 4$$

41    
-- > 4
10    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -8$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -8$$
$$x > 2$$