(|2*x-7|)-(|6*x+1|)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{2 x - 7}\right| - \left|{6 x + 1}\right| \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{2 x - 7}\right| - \left|{6 x + 1}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$2 x - 7 \geq 0$$
$$6 x + 1 \geq 0$$
o
$$\frac{7}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 x - 7\right) - \left(6 x + 1\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 4 x - 8 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -2$$
pero x1 no satisface a la desigualdad

2.
$$2 x - 7 \geq 0$$
$$6 x + 1 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$2 x - 7 < 0$$
$$6 x + 1 \geq 0$$
o
$$- \frac{1}{6} \leq x \wedge x < \frac{7}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(7 - 2 x\right) - \left(6 x + 1\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$6 - 8 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = \frac{3}{4}$$

4.
$$2 x - 7 < 0$$
$$6 x + 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{6}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(7 - 2 x\right) - \left(- 6 x - 1\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$4 x + 8 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -2$$


$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
$$x_{2} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{2 x - 7}\right| - \left|{6 x + 1}\right| \geq 0$$
$$- \left|{\frac{\left(-21\right) 6}{10} + 1}\right| + \left|{-7 + \frac{\left(-21\right) 2}{10}}\right| \geq 0$$

-2/5 >= 0

pero

-2/5 < 0

Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq \frac{3}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1