9x^2-12x+4>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(9 x^{2} - 12 x\right) + 4 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(9 x^{2} - 12 x\right) + 4 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 9$$
$$b = -12$$
$$c = 4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-12)^2 - 4 * (9) * (4) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = --12/2/(9)

$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{17}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(9 x^{2} - 12 x\right) + 4 \geq 0$$
$$\left(- \frac{12 \cdot 17}{30} + 9 \left(\frac{17}{30}\right)^{2}\right) + 4 \geq 0$$

9/100 >= 0

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq \frac{2}{3}$$

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       x1