x^3-x>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x^{3} - x > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x^{3} - x = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$x^{2} - 1 = 0$$
Evidentemente:

x0 = 0

luego,
cambiamos
$$\frac{1}{x^{2}} = 1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -2 - contiene un número par -2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia -2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1}}$$
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}} = \left(-1\right) \frac{1}{\sqrt{1}}$$
o
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Obtenemos la respuesta: x = 1
Obtenemos la respuesta: x = -1
o
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 1$$
$$x_{5} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x^{3} - x > 0$$
$$\left(- \frac{11}{10}\right)^{3} - - \frac{11}{10} > 0$$

-231     
----- > 0
 1000    

Entonces
$$x < -1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -1 \wedge x < 0$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > -1 \wedge x < 0$$
$$x > 1$$