x^3+x>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x^{3} + x > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x^{3} + x = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$x^{2} + 1 = 0$$
Evidentemente:

x0 = 0

luego,
cambiamos
$$\frac{1}{x^{2}} = -1$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -2 y miembro libre = -1 < 0,
significa que la ecuación correspondiente no tiene soluciones reales

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{2}} = -1$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 2 i p}}{r^{2}} = -1$$
donde
$$r = 1$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 2 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(2 p \right)} + \cos{\left(2 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(2 p \right)} = -1$$
y
$$- \sin{\left(2 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \pi N - \frac{\pi}{2}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$

$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = i$$
$$x_{3} = - i$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 0$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x^{3} + x > 0$$
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{1}{10}\right)^{3} > 0$$

-101     
----- > 0
 1000    

Entonces
$$x < 0$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 0$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1