|2x−1|+|3x+4|≤8 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{2 x - 1}\right| + \left|{3 x + 4}\right| \leq 8$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{2 x - 1}\right| + \left|{3 x + 4}\right| = 8$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$2 x - 1 \geq 0$$
$$3 x + 4 \geq 0$$
o
$$\frac{1}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 x - 1\right) + \left(3 x + 4\right) - 8 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$5 x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 1$$

2.
$$2 x - 1 \geq 0$$
$$3 x + 4 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$2 x - 1 < 0$$
$$3 x + 4 \geq 0$$
o
$$- \frac{4}{3} \leq x \wedge x < \frac{1}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - 2 x\right) + \left(3 x + 4\right) - 8 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 3$$
pero x2 no satisface a la desigualdad

4.
$$2 x - 1 < 0$$
$$3 x + 4 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{4}{3}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - 2 x\right) + \left(- 3 x - 4\right) - 8 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 5 x - 11 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = - \frac{11}{5}$$


$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{11}{5}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{11}{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{11}{5}$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{5} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{23}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{2 x - 1}\right| + \left|{3 x + 4}\right| \leq 8$$
$$\left|{\frac{\left(-23\right) 3}{10} + 4}\right| + \left|{\frac{\left(-23\right) 2}{10} - 1}\right| \leq 8$$

17/2 <= 8

pero

17/2 >= 8

Entonces
$$x \leq - \frac{11}{5}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{11}{5} \wedge x \leq 1$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1