sqrt(2x-20)+sqrt(x+15)>=5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 20} \geq 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 20} = 5$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 20} = 5$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 20}\right)^{2} = 25$$
o
$$1^{2} \left(2 x - 20\right) + \left(2 \sqrt{\left(x + 15\right) \left(2 x - 20\right)} + 1^{2} \left(x + 15\right)\right) = 25$$
o
$$3 x + 2 \sqrt{2 x^{2} + 10 x - 300} - 5 = 25$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{2 x^{2} + 10 x - 300} = 30 - 3 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$8 x^{2} + 40 x - 1200 = \left(30 - 3 x\right)^{2}$$
$$8 x^{2} + 40 x - 1200 = 9 x^{2} - 180 x + 900$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 220 x - 2100 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 220$$
$$c = -2100$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(220)^2 - 4 * (-1) * (-2100) = 40000

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 210$$

Como
$$\sqrt{2 x^{2} + 10 x - 300} = 15 - \frac{3 x}{2}$$
y
$$\sqrt{2 x^{2} + 10 x - 300} \geq 0$$
entonces
$$15 - \frac{3 x}{2} \geq 0$$
o
$$x \leq 10$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 10$$
comprobamos:
$$x_{1} = 10$$
$$\sqrt{x_{1} + 15} + \sqrt{2 x_{1} - 20} - 5 = 0$$
=
$$-5 + \left(\sqrt{-20 + 2 \cdot 10} + \sqrt{10 + 15}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{1} = 10$$
$$x_{1} = 10$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 10$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 10$$
=
$$\frac{99}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{x + 15} + \sqrt{2 x - 20} \geq 5$$
$$\sqrt{\frac{99}{10} + 15} + \sqrt{-20 + \frac{2 \cdot 99}{10}} \geq 5$$

  ______       ___     
\/ 2490    I*\/ 5      
-------- + ------- >= 5
   10         5        
     

Entonces
$$x \leq 10$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 10$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1