|x+3|+|x-2|>5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 2}\right| + \left|{x + 3}\right| > 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 2}\right| + \left|{x + 3}\right| = 5$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
$$x + 3 \geq 0$$
o
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 2\right) + \left(x + 3\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 2$$

2.
$$x - 2 \geq 0$$
$$x + 3 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 2 < 0$$
$$x + 3 \geq 0$$
o
$$-3 \leq x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) + \left(x + 3\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
la igualdad
la resolución en este intervalo:

4.
$$x - 2 < 0$$
$$x + 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -3$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) + \left(- x - 3\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -3$$
pero x2 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 2}\right| + \left|{x + 3}\right| > 5$$
$$\left|{-2 + \frac{19}{10}}\right| + \left|{\frac{19}{10} + 3}\right| > 5$$

5 > 5

pero

5 = 5

Entonces
$$x < 2$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 2$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1