|3x-1|+|2x-3|-|x+5|<2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left|{2 x - 3}\right| + \left|{3 x - 1}\right|\right) - \left|{x + 5}\right| < 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left|{2 x - 3}\right| + \left|{3 x - 1}\right|\right) - \left|{x + 5}\right| = 2$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 5 \geq 0$$
$$2 x - 3 \geq 0$$
$$3 x - 1 \geq 0$$
o
$$\frac{3}{2} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$- (x + 5) + \left(2 x - 3\right) + \left(3 x - 1\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$4 x - 11 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{11}{4}$$

2.
$$x + 5 \geq 0$$
$$2 x - 3 \geq 0$$
$$3 x - 1 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x + 5 \geq 0$$
$$2 x - 3 < 0$$
$$3 x - 1 \geq 0$$
o
$$\frac{1}{3} \leq x \wedge x < \frac{3}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - 2 x\right) - \left(x + 5\right) + \left(3 x - 1\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:

4.
$$x + 5 \geq 0$$
$$2 x - 3 < 0$$
$$3 x - 1 < 0$$
o
$$-5 \leq x \wedge x < \frac{1}{3}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - 3 x\right) + \left(3 - 2 x\right) - \left(x + 5\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 6 x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$

5.
$$x + 5 < 0$$
$$2 x - 3 \geq 0$$
$$3 x - 1 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

6.
$$x + 5 < 0$$
$$2 x - 3 \geq 0$$
$$3 x - 1 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

7.
$$x + 5 < 0$$
$$2 x - 3 < 0$$
$$3 x - 1 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

8.
$$x + 5 < 0$$
$$2 x - 3 < 0$$
$$3 x - 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -5$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - 3 x\right) + \left(3 - 2 x\right) - \left(- x - 5\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$7 - 4 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = \frac{7}{4}$$
pero x3 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = \frac{11}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{11}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{11}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left|{2 x - 3}\right| + \left|{3 x - 1}\right|\right) - \left|{x + 5}\right| < 2$$
$$- \left|{- \frac{3}{5} + 5}\right| + \left(\left|{\frac{\left(-3\right) 3}{5} - 1}\right| + \left|{-3 + \frac{\left(-3\right) 2}{5}}\right|\right) < 2$$

13/5 < 2

pero

13/5 > 2

Entonces
$$x < - \frac{1}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{1}{2} \wedge x < \frac{11}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1