Sr Examen

log(x+1)/log(2)+log(x)/log(3)<=3 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
log(x + 1)   log(x)     
---------- + ------ <= 3
  log(2)     log(3)     
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq 3$$
log(x)/log(3) + log(x + 1)/log(2) <= 3
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 3$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$2.9$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq 3$$
$$\frac{\log{\left(2.9 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{\log{\left(1 + 2.9 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \leq 3$$
1.06471073699243   1.3609765531356     
---------------- + --------------- <= 3
     log(3)             log(2)         

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 3$$
 _____          
      \    
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico