(x-1)(2x^2-3x+1)(x+5)≥0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 1\right) \left(\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1\right) \left(x + 5\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 1\right) \left(\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1\right) \left(x + 5\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 1\right) \left(\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1\right) \left(x + 5\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 1 = 0$$
$$x + 5 = 0$$
$$2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 1$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 1
2.
$$x + 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -5$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -5
3.
$$2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5$$
$$x_{4} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -5$$
$$x_{4} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-5 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 1\right) \left(\left(2 x^{2} - 3 x\right) + 1\right) \left(x + 5\right) \geq 0$$
$$\left(- \frac{51}{10} - 1\right) \left(1 + \left(- \frac{\left(-51\right) 3}{10} + 2 \left(- \frac{51}{10}\right)^{2}\right)\right) \left(- \frac{51}{10} + 5\right) \geq 0$$

26047     
----- >= 0
 625      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -5$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x2      x4      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -5$$
$$x \geq \frac{1}{2} \wedge x \leq 1$$