7sin(x/2)^2>1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$7 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$7 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$7 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} = 1$$
cambiamos
$$\frac{5}{2} - \frac{7 \cos{\left(x \right)}}{2} = 0$$
$$7 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$7 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 - contiene un número par 2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt{7} \sqrt{\left(0 w + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}} = \sqrt{1}$$
$$\sqrt{7} \sqrt{\left(0 w + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2}} = \left(-1\right) \sqrt{1}$$
o
$$\sqrt{7} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 1$$
$$\sqrt{7} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = -1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

sqrt7sinx/2 = 1

Esta ecuación no tiene soluciones
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

sqrt7sinx/2 = -1

Esta ecuación no tiene soluciones
o

hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$
$$x_{1} = - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + 2 \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$7 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} > 1$$
$$7 \sin^{2}{\left(\frac{- 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} > 1$$

      /         /  ___\\    
     2|1        |\/ 7 ||    
7*sin |-- + asin|-----|| > 1
      \20       \  7  //    
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x4      x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}$$
$$x > 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} \wedge x < - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + 2 \pi$$
$$x > 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)} + 2 \pi$$