x^2-7x+8>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x^{2} - 7 x\right) + 8 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} - 7 x\right) + 8 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = 8$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (1) * (8) = 17

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{7}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{7}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right)$$
=
$$\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} - 7 x\right) + 8 > 0$$
$$\left(- 7 \left(\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right) + \left(\frac{17}{5} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right)^{2}\right) + 8 > 0$$

                    2               
       /       ____\        ____    
  79   |17   \/ 17 |    7*\/ 17  > 0
- -- + |-- - ------|  + --------    
  5    \5      2   /       2        

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}$$
$$x > \frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{7}{2}$$