(0.2)2x-3/x-2≥5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\frac{2}{5} x - \frac{3}{x}\right) - 2 \geq 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\frac{2}{5} x - \frac{3}{x}\right) - 2 = 5$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\frac{2}{5} x - \frac{3}{x}\right) - 2 = 5$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
y x
obtendremos:
$$x \left(\left(\frac{2}{5} x - \frac{3}{x}\right) - 2\right) = 5 x$$
$$\frac{2 x^{2}}{5} - 2 x - 3 = 5 x$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$\frac{2 x^{2}}{5} - 2 x - 3 = 5 x$$
en
$$\frac{2 x^{2}}{5} - 7 x - 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{2}{5}$$
$$b = -7$$
$$c = -3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (2/5) * (-3) = 269/5

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{35}{4} + \frac{\sqrt{1345}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{35}{4} - \frac{\sqrt{1345}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{35}{4} + \frac{\sqrt{1345}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{35}{4} - \frac{\sqrt{1345}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{35}{4} + \frac{\sqrt{1345}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{35}{4} - \frac{\sqrt{1345}}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{35}{4} - \frac{\sqrt{1345}}{4}$$
$$x_{1} = \frac{35}{4} + \frac{\sqrt{1345}}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{35}{4} - \frac{\sqrt{1345}}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{173}{20} - \frac{\sqrt{1345}}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\frac{2}{5} x - \frac{3}{x}\right) - 2 \geq 5$$
$$-2 + \left(\frac{2}{5} \left(\frac{173}{20} - \frac{\sqrt{1345}}{4}\right) - \frac{3}{\frac{173}{20} - \frac{\sqrt{1345}}{4}}\right) \geq 5$$

                        ______     
73         3          \/ 1345      
-- - -------------- - --------     
50           ______      10    >= 5
     173   \/ 1345                 
     --- - --------                
      20      4                    

pero

                        ______    
73         3          \/ 1345     
-- - -------------- - --------    
50           ______      10    < 5
     173   \/ 1345                
     --- - --------               
      20      4                   

Entonces
$$x \leq \frac{35}{4} - \frac{\sqrt{1345}}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{35}{4} - \frac{\sqrt{1345}}{4} \wedge x \leq \frac{35}{4} + \frac{\sqrt{1345}}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1