(x-4)(x+1)/x-2<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-2 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}{x} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-2 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-2 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} - 5 x - 4}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} - 5 x - 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} - 5 x - 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -5$$
$$c = -4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (1) * (-4) = 41

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-2 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}{x} \leq 0$$
$$-2 + \frac{\left(-4 + \left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right)\right) \left(\left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right) + 1\right)}{\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}} \leq 0$$

     /        ____\ /       ____\     
     |  8   \/ 41 | |17   \/ 41 |     
     |- - - ------|*|-- - ------|     
     \  5     2   / \5      2   /     
-2 + ---------------------------- <= 0
                    ____              
             12   \/ 41               
             -- - ------              
             5      2                 

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x \geq \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$