sqrt(x-2)-sqrt(x-7)>1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{x - 7} + \sqrt{x - 2} > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{x - 7} + \sqrt{x - 2} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{x - 7} + \sqrt{x - 2} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{x - 7} + \sqrt{x - 2}\right)^{2} = 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(x - 7\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(x - 7\right) \left(x - 2\right)} + 1^{2} \left(x - 2\right)\right) = 1$$
o
$$2 x - 2 \sqrt{x^{2} - 9 x + 14} - 9 = 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{x^{2} - 9 x + 14} = 10 - 2 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} - 36 x + 56 = \left(10 - 2 x\right)^{2}$$
$$4 x^{2} - 36 x + 56 = 4 x^{2} - 40 x + 100$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$4 x - 44 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$4 x = 44$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 4

x = 44 / (4)

Como
$$\sqrt{x^{2} - 9 x + 14} = x - 5$$
y
$$\sqrt{x^{2} - 9 x + 14} \geq 0$$
entonces
$$x - 5 \geq 0$$
o
$$5 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 11$$
comprobamos:
$$x_{1} = 11$$
$$- \sqrt{x_{1} - 7} + \sqrt{x_{1} - 2} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{-7 + 11} + \sqrt{-2 + 11}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 11$$
$$x_{1} = 11$$
$$x_{1} = 11$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 11$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 11$$
=
$$\frac{109}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{x - 7} + \sqrt{x - 2} > 1$$
$$- \sqrt{-7 + \frac{109}{10}} + \sqrt{-2 + \frac{109}{10}} > 1$$

    _____     _____    
  \/ 390    \/ 890     
- ------- + ------- > 1
     10        10      
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 11$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1