sqrt(x^2-x-1)<=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1} = 1$$
$$\sqrt{x^{2} - x - 1} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x^{2} - x - 1 = 1$$
$$x^{2} - x - 1 = 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$x^{2} - x - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-2) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$

Como
$$\sqrt{x^{2} - x - 1} = 1$$
y
$$\sqrt{x^{2} - x - 1} \geq 0$$
entonces
$$1 \geq 0$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 1} \leq 1$$
$$\sqrt{-1 + \left(- \frac{-11}{10} + \left(- \frac{11}{10}\right)^{2}\right)} \leq 1$$

  _____     
\/ 131      
------- <= 1
   10       
     

pero

  _____     
\/ 131      
------- >= 1
   10       
     

Entonces
$$x \leq -1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -1 \wedge x \leq 2$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1