|x^2-3x+2|+|2x+1|<=5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{2 x + 1}\right| + \left|{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right| \leq 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{2 x + 1}\right| + \left|{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right| = 5$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$2 x + 1 \geq 0$$
$$x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$$
o
$$\left(- \frac{1}{2} \leq x \wedge x \leq 1\right) \vee \left(2 \leq x \wedge x < \infty\right)$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 x + 1\right) + \left(x^{2} - 3 x + 2\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} - x - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -1$$
pero x1 no satisface a la desigualdad
$$x_{2} = 2$$

2.
$$2 x + 1 \geq 0$$
$$x^{2} - 3 x + 2 < 0$$
o
$$1 < x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 x + 1\right) + \left(- x^{2} + 3 x - 2\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x^{2} + 5 x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 2$$
pero x3 no satisface a la desigualdad
$$x_{4} = 3$$
pero x4 no satisface a la desigualdad

3.
$$2 x + 1 < 0$$
$$x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{2}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- 2 x - 1\right) + \left(x^{2} - 3 x + 2\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} - 5 x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{5} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{6} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2}$$
pero x6 no satisface a la desigualdad

4.
$$2 x + 1 < 0$$
$$x^{2} - 3 x + 2 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso


$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{2 x + 1}\right| + \left|{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right| \leq 5$$
$$\left|{2 \left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right) + 1}\right| + \left|{2 + \left(\left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right)^{2} - 3 \left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{41}}{2}\right)\right)}\right| \leq 5$$

                   2                
      /       ____\        ____     
      |12   \/ 41 |    5*\/ 41  <= 5
-11 + |-- - ------|  + --------     
      \5      2   /       2         

pero

                   2                
      /       ____\        ____     
      |12   \/ 41 |    5*\/ 41  >= 5
-11 + |-- - ------|  + --------     
      \5      2   /       2         

Entonces
$$x \leq \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2} \wedge x \leq 2$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1