(2x-3)(x+5)(3x-1)^3<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 5\right) \left(2 x - 3\right) \left(3 x - 1\right)^{3} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 5\right) \left(2 x - 3\right) \left(3 x - 1\right)^{3} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 5\right) \left(2 x - 3\right) \left(3 x - 1\right)^{3} = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 5 = 0$$
$$2 x - 3 = 0$$
$$3 x - 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -5$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -5
2.
$$2 x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = 3 / (2)

Obtenemos la respuesta: x2 = 3/2
3.
$$3 x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$3 x = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3

x = 1 / (3)

Obtenemos la respuesta: x3 = 1/3
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -5$$
$$x_{3} = \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-5 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{51}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 5\right) \left(2 x - 3\right) \left(3 x - 1\right)^{3} \leq 0$$
$$\left(- \frac{51}{10} + 5\right) \left(\frac{\left(-51\right) 2}{10} - 3\right) \left(\frac{\left(-51\right) 3}{10} - 1\right)^{3} \leq 0$$

-142914651      
----------- <= 0
   25000        

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -5$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x1      x3      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -5$$
$$x \geq \frac{1}{3} \wedge x \leq \frac{3}{2}$$