(9x²+22x+4)*(x-2)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(9 x^{2} + 22 x\right) + 4\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(9 x^{2} + 22 x\right) + 4\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(9 x^{2} + 22 x\right) + 4\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 2 = 0$$
$$9 x^{2} + 22 x + 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 2
2.
$$9 x^{2} + 22 x + 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 9$$
$$b = 22$$
$$c = 4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(22)^2 - 4 * (9) * (4) = 340

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = - \frac{11}{9} + \frac{\sqrt{85}}{9}$$
$$x_{3} = - \frac{11}{9} - \frac{\sqrt{85}}{9}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{11}{9} + \frac{\sqrt{85}}{9}$$
$$x_{3} = - \frac{11}{9} - \frac{\sqrt{85}}{9}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{11}{9} + \frac{\sqrt{85}}{9}$$
$$x_{3} = - \frac{11}{9} - \frac{\sqrt{85}}{9}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - \frac{11}{9} - \frac{\sqrt{85}}{9}$$
$$x_{2} = - \frac{11}{9} + \frac{\sqrt{85}}{9}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{11}{9} - \frac{\sqrt{85}}{9}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{119}{90} - \frac{\sqrt{85}}{9}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 2\right) \left(\left(9 x^{2} + 22 x\right) + 4\right) > 0$$
$$\left(\left(- \frac{119}{90} - \frac{\sqrt{85}}{9}\right) - 2\right) \left(\left(22 \left(- \frac{119}{90} - \frac{\sqrt{85}}{9}\right) + 9 \left(- \frac{119}{90} - \frac{\sqrt{85}}{9}\right)^{2}\right) + 4\right) > 0$$

                 /                           2            \    
/          ____\ |           /          ____\         ____|    
|  299   \/ 85 | |  1129     |  119   \/ 85 |    22*\/ 85 | > 0
|- --- - ------|*|- ---- + 9*|- --- - ------|  - ---------|    
\   90     9   / \   45      \   90     9   /        9    /    

Entonces
$$x < - \frac{11}{9} - \frac{\sqrt{85}}{9}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{11}{9} - \frac{\sqrt{85}}{9} \wedge x < - \frac{11}{9} + \frac{\sqrt{85}}{9}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > - \frac{11}{9} - \frac{\sqrt{85}}{9} \wedge x < - \frac{11}{9} + \frac{\sqrt{85}}{9}$$
$$x > 2$$