4cos²x-(2√2-2)sinx>4-√2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \left(-2 + 2 \sqrt{2}\right) \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} > 4 - \sqrt{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \left(-2 + 2 \sqrt{2}\right) \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} = 4 - \sqrt{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \left(-2 + 2 \sqrt{2}\right) \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} = 4 - \sqrt{2}$$
cambiamos
$$- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} + \left(2 - 2 \sqrt{2}\right) \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} = 0$$
$$- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} - \left(-2 + 2 \sqrt{2}\right) \sin{\left(x \right)} + \sqrt{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$- 4 w^{2} - w \left(-2 + 2 \sqrt{2}\right) + \sqrt{2} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$- 4 w^{2} - 2 \sqrt{2} w + 2 w + \sqrt{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 2 - 2 \sqrt{2}$$
$$c = \sqrt{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2 - 2*sqrt(2))^2 - 4 * (-4) * (sqrt(2)) = (2 - 2*sqrt(2))^2 + 16*sqrt(2)

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{\left(2 - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{2}}}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{2}}}{8}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{\left(2 - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{2}}}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{2}}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{2}}}{8} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{2}}}{8} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{\left(2 - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{2}}}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{2}}}{8} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{2}}}{8} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{2}}}{8} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \left(-2 + 2 \sqrt{2}\right) \sin{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} > 4 - \sqrt{2}$$
$$- \left(-2 + 2 \sqrt{2}\right) \sin{\left(- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} + 4 \cos^{2}{\left(- \frac{3 \pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} > 4 - \sqrt{2}$$

     2/1    pi\   /         ___\    /1    pi\         ___
4*sin |-- + --| + \-2 + 2*\/ 2 /*cos|-- + --| > 4 - \/ 2 
      \10   4 /                     \10   4 /   

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{3 \pi}{4}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x > - \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{\pi}{6}$$
$$x > \frac{5 \pi}{6}$$