-x^2+x+6/7-x>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x + \left(\left(- x^{2} + x\right) + \frac{6}{7}\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x + \left(\left(- x^{2} + x\right) + \frac{6}{7}\right) = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{6}{7}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-1) * (6/7) = 24/7

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{42}}{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{42}}{7}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{42}}{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{42}}{7}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{42}}{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{42}}{7}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{42}}{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{42}}{7}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{42}}{7} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{42}}{7} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x + \left(\left(- x^{2} + x\right) + \frac{6}{7}\right) \geq 0$$
$$\left(\left(- \left(- \frac{\sqrt{42}}{7} - \frac{1}{10}\right)^{2} + \left(- \frac{\sqrt{42}}{7} - \frac{1}{10}\right)\right) + \frac{6}{7}\right) - \left(- \frac{\sqrt{42}}{7} - \frac{1}{10}\right) \geq 0$$

                   2     
    /         ____\      
6   |  1    \/ 42 |  >= 0
- - |- -- - ------|      
7   \  10     7   /      

pero

                   2    
    /         ____\     
6   |  1    \/ 42 |  < 0
- - |- -- - ------|     
7   \  10     7   /     

Entonces
$$x \leq - \frac{\sqrt{42}}{7}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{\sqrt{42}}{7} \wedge x \leq \frac{\sqrt{42}}{7}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2