(x-4)^2/(x-1)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 4\right)^{2}}{x - 1} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 4\right)^{2}}{x - 1} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 4\right)^{2}}{x - 1} = 0$$
denominador
$$x - 1$$
entonces

x no es igual a 1

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 4
pero

x no es igual a 1

$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 4$$
=
$$\frac{39}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 4\right)^{2}}{x - 1} > 0$$
$$\frac{\left(-4 + \frac{39}{10}\right)^{2}}{-1 + \frac{39}{10}} > 0$$

1/290 > 0

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 4$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1