Se da la desigualdad:
$$\left(\log{\left(3 x \right)}^{2} + 2 \log{\left(3 x \right)}\right) - 3 \leq 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\log{\left(3 x \right)}^{2} + 2 \log{\left(3 x \right)}\right) - 3 = 3$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{e^{-1 + \sqrt{7}}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3 e^{1 + \sqrt{7}}}$$
$$x_{1} = \frac{e^{-1 + \sqrt{7}}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3 e^{1 + \sqrt{7}}}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{3 e^{1 + \sqrt{7}}}$$
$$x_{1} = \frac{e^{-1 + \sqrt{7}}}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{3 \left(e^{1}\right)^{1 + \sqrt{7}}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{3 e^{1 + \sqrt{7}}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\log{\left(3 x \right)}^{2} + 2 \log{\left(3 x \right)}\right) - 3 \leq 3$$
$$-3 + \left(\log{\left(3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{1}{3 \left(e^{1}\right)^{1 + \sqrt{7}}}\right) \right)}^{2} + 2 \log{\left(3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{1}{3 \left(e^{1}\right)^{1 + \sqrt{7}}}\right) \right)}\right) \leq 3$$
2
/ / ___\\ / ___\
| |3 -1 - \/ 7 || |3 -1 - \/ 7 | <= 3
-3 + |pi*I + log|-- - e || + 2*log|-- - e | + 2*pi*I
\ \10 // \10 /
Entonces
$$x \leq \frac{1}{3 e^{1 + \sqrt{7}}}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{1}{3 e^{1 + \sqrt{7}}} \wedge x \leq \frac{e^{-1 + \sqrt{7}}}{3}$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x2 x1