(t-1)/(3t+2)+(2-t)/(3t+1)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{2 - t}{3 t + 1} + \frac{t - 1}{3 t + 2} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{2 - t}{3 t + 1} + \frac{t - 1}{3 t + 2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{2 - t}{3 t + 1} + \frac{t - 1}{3 t + 2} = 0$$
Usamos la regla de proporciones:
De a1/b1 = a2/b2 se deduce a1*b2 = a2*b1,
En nuestro caso

a1 = -1 + t

b1 = 2 + 3*t

a2 = -2 + t

b2 = 1 + 3*t

signo obtendremos la ecuación
$$\left(t - 1\right) \left(3 t + 1\right) = \left(t - 2\right) \left(3 t + 2\right)$$
$$\left(t - 1\right) \left(3 t + 1\right) = \left(t - 2\right) \left(3 t + 2\right)$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

1+3*t-1+t = (-2 + t)*(2 + 3*t)

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

1+3*t-1+t = -2+t2+3*t

Sumamos los términos semejantes en el miembro izquierdo de la ecuación:

(1 + 3*t)*(-1 + t) = -2+t2+3*t

Sumamos los términos semejantes en el miembro derecho de la ecuación:

(1 + 3*t)*(-1 + t) = (-2 + t)*(2 + 3*t)

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$\left(t - 1\right) \left(3 t + 1\right) + 1 = \left(t - 2\right) \left(3 t + 2\right) + 1$$
Esta ecuación no tiene soluciones
$$x_{1} = -1.5$$
$$x_{1} = -1.5$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -1.5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1.5 + - \frac{1}{10}$$
=
$$-1.6$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{2 - t}{3 t + 1} + \frac{t - 1}{3 t + 2} \leq 0$$
$$\frac{2 - t}{3 t + 1} + \frac{t - 1}{3 t + 2} \leq 0$$

 2 - t     -1 + t     
------- + ------- <= 0
1 + 3*t   2 + 3*t     

Entonces
$$x \leq -1.5$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq -1.5$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1