x+1/1-x+x-1/x<2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + \left(- x + \left(x + 1\right)\right)\right) - \frac{1}{x} < 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + \left(- x + \left(x + 1\right)\right)\right) - \frac{1}{x} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + \left(- x + \left(x + 1\right)\right)\right) - \frac{1}{x} = 2$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
y x
obtendremos:
$$x \left(\left(x + \left(- x + \left(x + 1\right)\right)\right) - \frac{1}{x}\right) = 2 x$$
$$x^{2} + x - 1 = 2 x$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$x^{2} + x - 1 = 2 x$$
en
$$x^{2} - x - 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + \left(- x + \left(x + 1\right)\right)\right) - \frac{1}{x} < 2$$
$$\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + \left(\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + 1\right) - \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right)\right) - \frac{1}{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}} < 2$$

                  ___    
7       1       \/ 5     
- - --------- - -----    
5         ___     2   < 2
    2   \/ 5             
    - - -----            
    5     2              

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x > \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$