(x+5)(x+7)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 5\right) \left(x + 7\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 5\right) \left(x + 7\right) = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(x + 5\right) \left(x + 7\right) = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} + 12 x + 35 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 12$$
$$c = 35$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(12)^2 - 4 * (1) * (35) = 4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -7$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -7$$
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -7$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -7$$
$$x_{1} = -5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-7 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 5\right) \left(x + 7\right) < 0$$
$$\left(- \frac{71}{10} + 5\right) \left(- \frac{71}{10} + 7\right) < 0$$

 21    
--- < 0
100    

pero

 21    
--- > 0
100    

Entonces
$$x < -7$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -7 \wedge x < -5$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1