(7x²+x+8)(12-x)(9-x)²(3x-27)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(12 - x\right) \left(\left(7 x^{2} + x\right) + 8\right) \left(9 - x\right)^{2} \left(3 x - 27\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(12 - x\right) \left(\left(7 x^{2} + x\right) + 8\right) \left(9 - x\right)^{2} \left(3 x - 27\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(12 - x\right) \left(\left(7 x^{2} + x\right) + 8\right) \left(9 - x\right)^{2} \left(3 x - 27\right) = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- 3 \left(x - 12\right) \left(x - 9\right)^{3} \left(7 x^{2} + x + 8\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$36 - 3 x = 0$$
$$x - 9 = 0$$
$$7 x^{2} + x + 8 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$36 - 3 x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 3 x = -36$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -3

x = -36 / (-3)

Obtenemos la respuesta: x1 = 12
2.
$$x - 9 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 9$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 9
3.
$$7 x^{2} + x + 8 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 7$$
$$b = 1$$
$$c = 8$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (7) * (8) = -223

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = - \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{223} i}{14}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{14} - \frac{\sqrt{223} i}{14}$$
$$x_{1} = 12$$
$$x_{2} = 9$$
$$x_{3} = - \frac{1}{14} + \frac{\sqrt{223} i}{14}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{14} - \frac{\sqrt{223} i}{14}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 12$$
$$x_{2} = 9$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 9$$
$$x_{1} = 12$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 9$$
=
$$\frac{89}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(12 - x\right) \left(\left(7 x^{2} + x\right) + 8\right) \left(9 - x\right)^{2} \left(3 x - 27\right) > 0$$
$$\left(8 + \left(\frac{89}{10} + 7 \left(\frac{89}{10}\right)^{2}\right)\right) \left(12 - \frac{89}{10}\right) \left(9 - \frac{89}{10}\right)^{2} \left(-27 + \frac{3 \cdot 89}{10}\right) > 0$$

-5313741     
--------- > 0
 1000000     

Entonces
$$x < 9$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 9 \wedge x < 12$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1