Se da la desigualdad:
$$\left(2 - x\right) \left(3 x + 1\right) \left(2 x - 3\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 - x\right) \left(3 x + 1\right) \left(2 x - 3\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(2 - x\right) \left(3 x + 1\right) \left(2 x - 3\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$2 - x = 0$$
$$2 x - 3 = 0$$
$$3 x + 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$2 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1
x = -2 / (-1)
Obtenemos la respuesta: x1 = 2
2.
$$2 x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2
x = 3 / (2)
Obtenemos la respuesta: x2 = 3/2
3.
$$3 x + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$3 x = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3
x = -1 / (3)
Obtenemos la respuesta: x3 = -1/3
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 - x\right) \left(3 x + 1\right) \left(2 x - 3\right) > 0$$
$$\left(2 - - \frac{13}{30}\right) \left(\frac{\left(-13\right) 3}{30} + 1\right) \left(-3 + \frac{\left(-13\right) 2}{30}\right) > 0$$
2117
---- > 0
750
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{1}{3}$$
_____ _____
\ / \
-------ο-------ο-------ο-------
x3 x2 x1
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{1}{3}$$
$$x > \frac{3}{2} \wedge x < 2$$