(2x^2-8x+11)/(x+2)(x-3)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right) = 0$$
denominador
$$x + 2$$
entonces

x no es igual a -2

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 3 = 0$$
$$2 x^{2} - 8 x + 11 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 3
3.
$$2 x^{2} - 8 x + 11 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = -8$$
$$c = 11$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (2) * (11) = -24

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = 2 + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{3} = 2 - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
pero

x no es igual a -2

$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 2 + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{3} = 2 - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right) \leq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{8 \cdot 29}{10} + 2 \left(\frac{29}{10}\right)^{2}\right) + 11}{2 + \frac{29}{10}} \left(-3 + \frac{29}{10}\right) \leq 0$$

-33      
---- <= 0
350      

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 3$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1