(x+5)*(x-1)/x+4<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$4 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 5\right)}{x} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$4 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 5\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$4 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 5\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} + 8 x - 5}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} + 8 x - 5 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} + 8 x - 5 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 8$$
$$c = -5$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(8)^2 - 4 * (1) * (-5) = 84

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -4 + \sqrt{21}$$
$$x_{2} = - \sqrt{21} - 4$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = -4 + \sqrt{21}$$
$$x_{2} = - \sqrt{21} - 4$$
$$x_{1} = -4 + \sqrt{21}$$
$$x_{2} = - \sqrt{21} - 4$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \sqrt{21} - 4$$
$$x_{1} = -4 + \sqrt{21}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \sqrt{21} - 4\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \sqrt{21} - \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$4 + \frac{\left(x - 1\right) \left(x + 5\right)}{x} \leq 0$$
$$\frac{\left(\left(- \sqrt{21} - \frac{41}{10}\right) - 1\right) \left(\left(- \sqrt{21} - \frac{41}{10}\right) + 5\right)}{- \sqrt{21} - \frac{41}{10}} + 4 \leq 0$$

    /  51     ____\ /9      ____\     
    |- -- - \/ 21 |*|-- - \/ 21 |     
    \  10         / \10         /     
4 + ----------------------------- <= 0
              41     ____             
            - -- - \/ 21              
              10                      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \sqrt{21} - 4$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \sqrt{21} - 4$$
$$x \geq -4 + \sqrt{21}$$