6x^2-7x+1<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(6 x^{2} - 7 x\right) + 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(6 x^{2} - 7 x\right) + 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 6$$
$$b = -7$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (6) * (1) = 25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{6}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{6}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{6}$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{6}$$
=
$$\frac{1}{15}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(6 x^{2} - 7 x\right) + 1 < 0$$
$$\left(- \frac{7}{15} + 6 \left(\frac{1}{15}\right)^{2}\right) + 1 < 0$$

14    
-- < 0
25    

pero

14    
-- > 0
25    

Entonces
$$x < \frac{1}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{1}{6} \wedge x < 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1