|x+2|*(x^2-4x-10)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 10\right) \left|{x + 2}\right| \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 10\right) \left|{x + 2}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 2 \geq 0$$
o
$$-2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4 x - 10\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 4 x - 10\right) = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{14}$$
$$x_{3} = 2 + \sqrt{14}$$

2.
$$x + 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- x - 2\right) \left(x^{2} - 4 x - 10\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\left(- x - 2\right) \left(x^{2} - 4 x - 10\right) = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{4} = -2$$
pero x4 no satisface a la desigualdad
$$x_{5} = 2 - \sqrt{14}$$
pero x5 no satisface a la desigualdad
$$x_{6} = 2 + \sqrt{14}$$
pero x6 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{14}$$
$$x_{3} = 2 + \sqrt{14}$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{14}$$
$$x_{3} = 2 + \sqrt{14}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{14}$$
$$x_{3} = 2 + \sqrt{14}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(x^{2} - 4 x\right) - 10\right) \left|{x + 2}\right| \leq 0$$
$$\left(-10 + \left(\left(- \frac{21}{10}\right)^{2} - \frac{\left(-21\right) 4}{10}\right)\right) \left|{- \frac{21}{10} + 2}\right| \leq 0$$

281      
---- <= 0
1000     

pero

281      
---- >= 0
1000     

Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 2 - \sqrt{14}$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 2 - \sqrt{14}$$
$$x \geq 2 + \sqrt{14}$$