(x^2-5x+4)/(x-3)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x - 3} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x - 3} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x - 3} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-3 + x
obtendremos:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 4\right)}{x - 3} = 0$$
$$x^{2} - 5 x + 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -5$$
$$c = 4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-5)^2 - 4 * (1) * (4) = 9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x^{2} - 5 x\right) + 4}{x - 3} > 0$$
$$\frac{\left(- \frac{5 \cdot 9}{10} + \left(\frac{9}{10}\right)^{2}\right) + 4}{-3 + \frac{9}{10}} > 0$$

-31     
---- > 0
210     

Entonces
$$x < 1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 1 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1