x−11,6/x−17,4≥0. desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - \frac{58}{5 x}\right) - \frac{87}{5} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - \frac{58}{5 x}\right) - \frac{87}{5} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x - \frac{58}{5 x}\right) - \frac{87}{5} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
y x
obtendremos:
$$x \left(\left(x - \frac{58}{5 x}\right) - \frac{87}{5}\right) = 0 x$$
$$x^{2} - \frac{87 x}{5} - \frac{58}{5} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = - \frac{87}{5}$$
$$c = - \frac{58}{5}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-87/5)^2 - 4 * (1) * (-58/5) = 8729/25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{87}{10} + \frac{\sqrt{8729}}{10}$$
$$x_{2} = \frac{87}{10} - \frac{\sqrt{8729}}{10}$$
$$x_{1} = \frac{87}{10} + \frac{\sqrt{8729}}{10}$$
$$x_{2} = \frac{87}{10} - \frac{\sqrt{8729}}{10}$$
$$x_{1} = \frac{87}{10} + \frac{\sqrt{8729}}{10}$$
$$x_{2} = \frac{87}{10} - \frac{\sqrt{8729}}{10}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{87}{10} - \frac{\sqrt{8729}}{10}$$
$$x_{1} = \frac{87}{10} + \frac{\sqrt{8729}}{10}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{87}{10} - \frac{\sqrt{8729}}{10}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{43}{5} - \frac{\sqrt{8729}}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - \frac{58}{5 x}\right) - \frac{87}{5} \geq 0$$
$$- \frac{87}{5} + \left(\left(\frac{43}{5} - \frac{\sqrt{8729}}{10}\right) - \frac{58}{5 \left(\frac{43}{5} - \frac{\sqrt{8729}}{10}\right)}\right) \geq 0$$

                             ______     
  44           58          \/ 8729      
- -- - ----------------- - --------     
  5      /       ______\      10    >= 0
         |43   \/ 8729 |                
       5*|-- - --------|                
         \5       10   /                

pero

                             ______    
  44           58          \/ 8729     
- -- - ----------------- - --------    
  5      /       ______\      10    < 0
         |43   \/ 8729 |               
       5*|-- - --------|               
         \5       10   /               

Entonces
$$x \leq \frac{87}{10} - \frac{\sqrt{8729}}{10}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{87}{10} - \frac{\sqrt{8729}}{10} \wedge x \leq \frac{87}{10} + \frac{\sqrt{8729}}{10}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1