|x-3|/(x^2-5x+6)>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left|{x - 3}\right|}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left|{x - 3}\right|}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 2$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 3 \geq 0$$
o
$$3 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 5 x + 6} - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 5 x + 6} - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
pero x1 no satisface a la desigualdad

2.
$$x - 3 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 3$$
obtenemos la ecuación
$$\frac{3 - x}{x^{2} - 5 x + 6} - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$\frac{3 - x}{x^{2} - 5 x + 6} - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$


$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{7}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left|{x - 3}\right|}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} \geq 2$$
$$\frac{\left|{-3 + \frac{7}{5}}\right|}{\left(- \frac{5 \cdot 7}{5} + \left(\frac{7}{5}\right)^{2}\right) + 6} \geq 2$$

5/3 >= 2

pero

5/3 < 2

Entonces
$$x \leq \frac{3}{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{3}{2}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1